揭开乘法的神秘面纱：乘法表

乘法表是一种靠记忆的乘法方式。你不需要懂任何的方程式，只要记清楚就行了。背诵乘法表可是风行了几千年的学习乘法方式。早在中国汉朝（公元前206至公元220）之前就有了简单的乘法表（如图一）。在这时期，古印度算术(Arithmetic)虽然非常发达，但他们的乘法表只在上层社会通过口述的方式传诵以防止下阶层的贱民学习（九九乘法表是在十八世纪传入印度）。


图1：中国古代乘法表(Ho, 1985)

中国古代乘法表非常类似现今我们所用的乘法表，但它较为简单而且充分利用了交换法则 。

记载在《孙子算经》的九九乘法是从九开始倒退到一的。这九九乘法还有个典故呢! (Li and Du, 1987)相传春秋时期(公元前770 – 476年)的齐桓公为广招贤能异士而建立了招贤馆。但是一年后还是没有人前来招聘，这时有人来应征并带来九九乘法表献给齐桓公。齐桓公觉得好笑，因为九九乘法太普通了。来人回答说：‘据理，懂得九九乘法是不足显示任何知识和能力。但如果您聘请了只懂得九九乘法的我，其它的贤能异士必来招聘’。果真，此人被聘一个月内，大批贤能异士就招聘于招贤馆。这个典故说明了九九乘法早在春秋战国时期就广泛的被运用。到了宋朝时期，九九乘法表的次序才改由从一开始到九。

除此之外，欧洲最早期的印刷本乘法表则出现在1489年德国数学家约翰.威曼(Johann Widman)的著作里(Smith & Ginsburg, 1961)。此书共有两种乘法表，第一种是完整的正方形 乘法表（类似图三）。这种乘法表在中世纪欧洲也被称为‘毕氏’表(Pythagorean Table)。这种称呼也许是一种美丽的误会，因为它与古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras, 公元前530) 无关。而第二种乘法表是半折的三角形 乘法（类似图四），它类似中国古代乘法表。更早期的欧洲还有一种意大利商人用的乘法表称为‘栏表’(Column Table)。栏表（图二）提供了所有 甚至是 以内的质数(Prime number)的乘法答案(Smith, 1958)。


图2：中世纪1456年意大利栏表的一部分

我们转移到中世纪的伊斯兰教文明，阿拉伯数学家库赛尔(Kūshyār ibn Labbān, 公元971至1029年)制作了一幅六十进位数乘法表(Sexagesimal Multiplication Table)。这个乘法表拥有 的六十进位数乘法答案(Berggren, 1986)。例如乘法表的第8栏和第13行是 8 x 13 = 1 44。当我们把六十进位数1 44转换成十进位数得

1 44 = 60 + 44 = 104

大约公元1600年，土耳其天文学家制作了庞大的六十进位数乘法表，由00 01 到59 59 总共有212400个乘法答案。我们会在另外的章节讨论美索毕达美亚(Mesompotamia，约公元前1500年古代的巴比伦，即现今的伊拉克)独有的六十进位数乘法（中国也有六十进位数系统）。

现行的乘法表以12为准，老师教我们从1x1=1，1x2=2开始一直到12x12=144。那你的乘法表熟背了吗？熟背了，那很好。还没熟背，也不要紧，现在我们来复习一下。在你看图三前，你能背到什么数字的乘法呢？12x12，那可是很了不起喔！但你知道古时候的印度人能够熟练背诵19x19口诀吗？迟些时候才告诉你他们是如何做到的。而且你也可以做到，甚至背诵到更大的数目。

有什么方法能够更轻松的背诵乘法表吗？首先，我们再看看图三的乘法表，你发现3x4和4x3的答案是一样的吗？还有8x10和10x8，3x9和9x3等等都有一样的答案（请看图三）。也就是说当两个数目相乘时，不管它们的位子在那儿，答案都是一样的。写成公式为

a x b = b x a

有了这个交换法则就好办了。现在我们只需要背诵接近一半的乘法表就行了。


图3： 乘法表

图4： 乘法表

接着下来我们看看灰色格子里的平方（如图四），也就是自己乘自己的数字如1x1=1，2x2=4，3x3=9，…，12x12=144。要如何找出平方呢？这一点我们在其它章节里会讲解。在此就不解释了，你就暂且背诵。

不过，这平方可真有点意思。你瞧瞧1x1=1和2x2=4的差距是3(=4-1)。接下来2x2=4和3x3=9的差距是5(=9-4)。你知道3x3和4x4的差距是什么吗？对了，就是7(=16-9)。随着相乘的数字越大，两个连续平方的差距也跟着变大，而且都是正奇数+3，+5，+7，+9，+11，…（如图五）。


图5： 乘法表

更神奇的事还在后头呢！现在仔细看清楚每一个平方左下角的灰色格子的数字有什么特别。例如36的左下角是35，接着35的左下角是32，还有32 的左下角是27， 然后是20和11。这些数字的差距恰恰和平方的差距是相反的。例如35是36的–1，32是35的–3，27是32的–5，20是27的–7和11是20的–9。也就是负的奇数–1，–3，–5，…以此类推。

我们是否能从这些奥妙的数字里找到什么容易的乘法？答案是肯定的。注意36是6的平方而35是 的数。那6，5和7有什么关系吗？有，6是5和7的平均值。也就是说5加7除2等于6（如果你还不懂除法，你可以说5和7的中间是6）那么32是4x8的数。很巧妙的4和8的中间也是6（4加8除2等于6）。同样的，27=3x9，20=2x10和11=1x11所有的相乘数的中间都是6。

其它平方的左下角的数字也都可以用相同的方法找出来。例如25的平方是5，而25的左下角的相乘数的平均值一定是5（4和6，3和7，2和8，1和9）。
那事情就好办了。要找出蓝色格子的数字只需要根据以下的步骤就可以了。

（1） 确定两个相乘数的和为偶数。
（2） 找出两个相乘数的中间数字。
（3） 求中间数字的平方。
（4） 中间数字减去较小的相乘数，然后求平方。
（5） 第（3）项的数减去第（4）项的数。

把这些步骤写成数学公式（如果你不懂可以跳过）为

两个相乘数a和b，假设a